8. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерений и т.д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, то есть наименьшую дисперсию.

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально. По независимым выборкам с объемами и , извлеченным из этих совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой или, что математические ожидания исправленных выборочных дисперсий равны между собой. Такая задача ставится потому, что обычно исправленные дисперсии оказываются различными. Возникает вопрос: значимо (существенно) или незначимо различаются исправленные дисперсии?

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, то есть генеральные дисперсии одинаковы, то различие исправленных дисперсий незначимо и объясняется случайными причинами, в частности случайным отбором объектов выборки. Например, если различие исправленных выборочных дисперсий результатов измерений, выполненных двумя приборами, оказалось незначимым, то приборы имеют одинаковую точность.

Если нулевая гипотеза отвергнута, то есть генеральные дисперсии неодинаковы, то различие исправленных дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а является следствием того, что сами генеральные дисперсии различны. Например, если различие исправленных выборочных дисперсий результатов измерений, произведенных двумя приборами, оказалось значимым, то точность приборов различна.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий принимают отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, то есть случайную величину .

Величина при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы и , где - объем выборки, по которой вычислена большая исправленная дисперсия, - объем выборки, по которой найдена меньшая дисперсия. Распределение Фишера-Снедекора зависит только от степеней свободы и не зависит от других параметров.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе , надо вычислить отношение , по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню значимости и числам степеней свободы и найти критическую точку .

Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если - нулевую гипотезу отвергают.

Пример. По двум независимым выборкам объемов =12 и =15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y найдены исправленные выборочные дисперсии и . При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе .

Решение. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей: .

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область - правосторонняя.

По таблице, по уровню значимости и по числам степеней свободы , находим критическую точку .

Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе , надо вычислить , найти по таблице критическую точку .

Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если - нулевую гипотезу отвергают.

Пример. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны =10 и =18, извлеченных из нормальных генеральных совокупностей X и Y найдены исправленные выборочные дисперсии и . При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе .

Решение. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей: .

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область - двусторонняя.

По таблице, по уровню значимости, вдвое меньшем заданного, то есть при и по числам степеней свободы , находим критическую точку .

Так как , нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий отвергаем. Другими словами, выборочные исправленные дисперсии различаются значимо. Например, если бы рассматриваемые дисперсии характеризовали точность двух методов измерений, то следует предпочесть тот метод, который имеет меньшую дисперсию (0,41).